Devoir de mathématiques n°…… Pour ………………….
Exercice n°1:
1) Etudier les variations (sur le même modèle que pour la fonction
1
x
, faite en classe) des fonctions suivantes:
(cad, le domaine de définition, la parité, si nécessaire, le sens de variation, le tableau de variation et
minimum/maximum, s’il y en...
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Devoir de mathématiques n°…… Pour …………………. Exercice n°1: 1) Etudier les variations (sur le même modèle que pour la fonction 1 x , faite en classe) des fonctions suivantes: (cad, le domaine de définition, la parité, si nécessaire, le sens de variation, le tableau de variation et minimum/maximum, s’il y en a) 2) Faire un tableau de valeur pour chacune des fonctions suivantes et tracer leur représentation graphique en prenant bien soin de se placer dans un repère (O ; i ; j ) orthonormé. Les fonctions sont définies par : f(x) = x² (on étudiera sur ]- ;0] et [0 ;+[) g(x) = x³ indication : u³-v³ = (u-v)(u²+uv+v²) h(x) = x²-8x+12 (on étudiera sur ]- ;4] et [4 ;+[) Exercice n°2: Résoudre les systèmes de deux équations à deux inconnues suivants : { 3x-5y=1 -2x+3y=-1 {6x-3y=-3 x+2y=7 Correction Etude de la fonction f: x x² : Ensemble de définition: Tout réel admet un carré, donc la fonction définie par f(x)=x² est définie sur . (ie Df =) Parité: pour tout réel x de , -x et pour
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AIDE INDIVISUALISEE
Fonctions carré et inverse : jeu de piste
Exercice 1 :
Déterminer, dans chaque cas, l’image de l’intervalle I par la fonction carré :
I = ] –2 ; 5] I = [ 2 ; + [
Exercice 2 :
En utilisant le sens de variation de la fonction carré, déduire des encadrements sur x, ceux que
vérifie x2
: -4 x ...
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1 AIDE INDIVISUALISEE Fonctions carré et inverse : jeu de piste Exercice 1 : Déterminer, dans chaque cas, l’image de l’intervalle I par la fonction carré : I = ] –2 ; 5] I = [ 2 ; + [ Exercice 2 : En utilisant le sens de variation de la fonction carré, déduire des encadrements sur x, ceux que vérifie x2 : -4 x -3 2 x 7 Exercice 3 : En utilisant le sens de variation de la fonction carré, déduire des inégalités sur x, celles que vérifie x2 : x 2 x -3 Exercice 4 : Déterminer l’image de l’intervalle [ -3 ; -1 [ par la fonction inverse. Exercice 5 : En utilisant le sens de variation de la fonction inverse, déduire de l’encadrement sur x, celui que vérifie 1 x : 2 x 3 Exercice 6 : Déterminer l’image de l’intervalle [1; + [ par la fonction inverse. Exercice 7 : Compléter en justifiant : Si x -3 , alors : x -3 et x . . . . . 0 Donc : 1 x … et 1 x …. . 0 Donc : si x -3, alors …. 1 x …. Exercice 8 : Résoudre graphiquement l’équation : 1 x = x2 Exerci
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Test sur les fonctions affines Nom et Prénom :
1.
Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) = 3x + 1.
Expliquer la méthode :
2.
Déterminer l’équation réduite de la droite D.
Expliquer la démarche suivie.
3.
Déterminer l’expression de la fonction affine f telle que f (1) = 3 et f (3 ) = 5 .
Justifier votre...
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Test sur les fonctions affines Nom et Prénom : 1. Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) = 3x + 1. Expliquer la méthode : 2. Déterminer l’équation réduite de la droite D. Expliquer la démarche suivie. 3. Déterminer l’expression de la fonction affine f telle que f (1) = 3 et f (3 ) = 5 . Justifier votre réponse . 4. Soit g la fonction affine telle que g(1) = 3 et g(4) = 2 . Sans déterminer l’expression de la fonction g, calculer g(2) . 5. La fonction h définie sur IR par h(x) = 3 ( x + 1 ) – x + 2 est – elle une fonction affine ? Justifier votre réponse. 6. On considère les représentations graphiques ci-contre. a ) Déterminer celles qui sont associées à des fonctions affines. b ) On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = 2 x + 2 et la fonction g définie sur IR par g(x) = – x + 2. Retrouver à quelle fonction, f ou g, correspond C1. Justifier votre réponse. Faire de même pour C2. O i j O i j O i j
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Devoir à la maison n°….
.
La parabole C d équation y = 2 – 0,5 x² est représentée ci-dessus.
1.
Calculer les coordonnées des points d intersection de C avec l axe (Ox).
2.
Pour tout x de [0 ; 2], on construit, comme ci-dessus, les points M, P, Q, N, où
M a pour coordonnées (x, 0), P et Q appartiennent à la parabole...
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Devoir à la maison n°…. . La parabole C d équation y = 2 – 0,5 x² est représentée ci-dessus. 1. Calculer les coordonnées des points d intersection de C avec l axe (Ox). 2. Pour tout x de [0 ; 2], on construit, comme ci-dessus, les points M, P, Q, N, où M a pour coordonnées (x, 0), P et Q appartiennent à la parabole C, et MPQN est un rectangle. Déterminer les coordonnées des points P, Q et N en fonction de x, et en déduire l aire A(x) du rectangle MPQN en fonction de x 3. Résolution de l équation A(x) = 2 On se propose de résoudre graphiquement cette équation, de deux manières : a) Dresser un tableau de valeurs de A(x) pour les valeurs de 0 à 2, avec un pas de 0,2. Donner alors une allure plausible de la courbe représentative de la fonction A, et résoudre graphiquement le problème. b) Expliquer pourquoi on peut aussi résoudre l équation en représentant graphiquement les fonctions x x³ et x 4 x – 2 sur un même dessin. 4. Détermination du maximum de A(x) Montrer que A(x)
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Interrogation écrite
I) Définition : fonction croissante sur un intervalle I
II) Citer les propriétés de la courbe représentative de la fonction f(x) = x², ainsi que son tableau de variations.
III) f est la fonction définie sur [-5 ; 5] par f(x) = (x – 3) (-3 x - 4)
1) Dresser le tableau de signes de f sur [-5 ; 5]
2) Pour...
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Interrogation écrite I) Définition : fonction croissante sur un intervalle I II) Citer les propriétés de la courbe représentative de la fonction f(x) = x², ainsi que son tableau de variations. III) f est la fonction définie sur [-5 ; 5] par f(x) = (x – 3) (-3 x - 4) 1) Dresser le tableau de signes de f sur [-5 ; 5] 2) Pour quelles valeurs de x la fonction est-elle négative ? 3) Résoudre l équation (x – 3) (3 x + 4) > 0 4) En quels points la courbe représentative de la fonction coupe-t-elle l axe des abscisses ? IV) 1) Quelles sont les solutions de l équation x² = 5 ? 2) Quelles sont les solutions de l inéquation x² 5 ? On pourra s aider de la courbe représentative de la fonction x² ci-contre 3) Pour quelles valeurs de x a-t-on 1 < x² < 4 ? x f(x) x 1 15 16 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4-1
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Devoir surveillé n°….
.
Conseils :
Faire les tracés graphiques proprement, la notation en tiendra compte
De très nombreuses questions sont indépendantes
Vérifier la cohérence entre les différentes questions (par exemple entre le
tableau de signes et la courbe, entre les réponses du 4)b) et du 4)f))
Exercice 1
Un...
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Devoir surveillé n°…. . Conseils : Faire les tracés graphiques proprement, la notation en tiendra compte De très nombreuses questions sont indépendantes Vérifier la cohérence entre les différentes questions (par exemple entre le tableau de signes et la courbe, entre les réponses du 4)b) et du 4)f)) Exercice 1 Un sous-marin, situé à une profondeur de 1 680 m, tire un missile. La fonction h(x) donne l altitude atteinte (en m) par le missile, en fonction de la distance horizontale parcourue (en m) : h(x) = -5. 10-6 x² + 0,25 x – 1 680. Note : -5. 10-6 = -0,000 005. Quand l altitude est négative, c est que le missile se trouve sous le niveau de l eau. On désire connaître le trajet du missile, pour x compris entre 0 et 50 000 m. 1) Donner un tableau de valeurs de la fonction avec un pas de 5 000 m 1 2) Tracer la courbe représentative de la fonction. On prendra comme unités graphiques 1 cm pour 5 000 m suivant x, et 1 cm pour 250 m suivant y. 2,5 3) Le missile survole une ten
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Comparaison du cosinus et du sinus de certains angles.
Voici, pour chacune des figures suivantes, un cercle trigonométrique dans un repère orthonormé (O;
i ;
j ).
Propriété: Pour tout réel x, on a
{cos (-x) =
sin (-x) =
cos (-x) =
sin (-x) =
cos (+x) =
sin(+x) =
Exercice: Trouver...
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Comparaison du cosinus et du sinus de certains angles. Voici, pour chacune des figures suivantes, un cercle trigonométrique dans un repère orthonormé (O; i ; j ). Propriété: Pour tout réel x, on a {cos (-x) = sin (-x) = cos (-x) = sin (-x) = cos (+x) = sin(+x) = Exercice: Trouver les valeurs exactes, sans utiliser une calculatrice, de cos 4 3 = sin ( 6 ) = sin 5 6 = sin 7 6 = cos 13 6 = sin ( 3 ) = sin 5 4 = cos 5 6 = cos ( 6 ) = cos (2 3 ) = sin 11 6 = cos 81 4 = sin 4 3 = cos 71 3 = cos 29 6 = sin 9 6 = sin 83 4 = cos 50 4 = cos (29 4 ) = sin 40 3 = O -x x cox x -sin x sin x -cos x O x -x cos x sin x -cos x O x -sin x +x cos x sin x
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DEVOIR SURVEILLE N° Sujet A
Donné le
NOM :
Prénom :
Classe :
Note la plus basse :
Note la plus élevée :
Moyenne de la classe :
Note de l’élève :
La présentation de la copie sera la même que pour un devoir maison.
Exercice 1 :
Tracer la représentation graphique de la fonction définie par f (x) =
x
5
– 3 dans un plan muni...
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DEVOIR SURVEILLE N° Sujet A Donné le NOM : Prénom : Classe : Note la plus basse : Note la plus élevée : Moyenne de la classe : Note de l’élève : La présentation de la copie sera la même que pour un devoir maison. Exercice 1 : Tracer la représentation graphique de la fonction définie par f (x) = x 5 – 3 dans un plan muni d’un repère orthonormal . Critères de réussite : courbe précise et soignée, repère correct. Exercice 2 : 1. Associer à chaque fonction sa représentation graphique : f (x) = x² g (x) = 0,5x + 4 h (x) = 1 3 x + 4 i (x) = – 0,5x + 4 j ( x ) = 3x + 4 2. Déterminer l’expression de la fonction affine associée à la courbe restante. Critères de réussite : associations correctes, raisonnement détaillé pour la détermination de l’expression de la fonction. Exercice 3 : Soit f une fonction affine telle que f ( 2 ) = – 1 et f ( 5 ) = 8. Sans déterminer l’expression de la fonction f , calculer f ( 3 ) . Critères de réussite : raisonnement permettant d’aboutir au résultat, sa
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Aide individualisée
Exercice 1
Dans une région, lorsqu’il y a une multitude de lièvres, les renards sont bien
nourris, et leur population augmente.
Lorsque les renards sont devenus nombreux,
ils mangent trop de lièvres, et la population de lièvres est rapidement décimée.
On
a établi que, sur une période allant de x = 0 à...
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Aide individualisée Exercice 1 Dans une région, lorsqu’il y a une multitude de lièvres, les renards sont bien nourris, et leur population augmente. Lorsque les renards sont devenus nombreux, ils mangent trop de lièvres, et la population de lièvres est rapidement décimée. On a établi que, sur une période allant de x = 0 à x = 20 ans, la population de lièvres est donnée par : f(x) = -10 x² + 200 x + 100 1) Donner un tableau de valeurs de la fonction, pour x[0 ; 20], avec un pas de 2 5 minutes 2) A l’aide de la calculatrice, tracer rapidement mais proprement la courbe représentative de la fonction. Echelle suivant x : 1 cm = 2 ; suivant y : 1 cm = 100 8 minutes 3) Montrer que pour tout x de [0 ; 20] f(x) = -10 (x – 10)² + 1100 7 minutes 4) A l’année 4, combien trouve-t-on de lièvres ? 2 minutes 5a) A l’aide de la courbe tracée, donnez une valeur approchée de l’époque où on trouve 700 lièvres. 4 minutes 5b) Quelle équation faut-il résoudre pour répondre à la question 5 a) ? 2 minutes
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Exemple : On veut tracer la représentation graphique de la
fonction affine f : x - 0,5x + 2.
On choisit deux valeurs de x au hasard et on calcule leurs
images par la fonction affine f.
on a f( -2 ) = -0,5 + 2 = + 2 =
on a f( 1 ) = -0,5 + 2 = + 2 =
La représentation graphique de f est la droite qui passe par
les...
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Exemple : On veut tracer la représentation graphique de la fonction affine f : x - 0,5x + 2. On choisit deux valeurs de x au hasard et on calcule leurs images par la fonction affine f. on a f( -2 ) = -0,5 + 2 = + 2 = on a f( 1 ) = -0,5 + 2 = + 2 = La représentation graphique de f est la droite qui passe par les points : A ( -2 ; ) et B ( 1 ; ) D’où la représentation graphique : Cas particulier : les fonctions linéaires On veut tracer la représentation graphique de la fonction linéaire f de coefficient 1,5. On choisit une valeur de x au hasard et on calcule son image par la fonction linéaire f. On a f( -2 ) = 1,5 = On place le point de coordonnées ( -2 ; ) et on trace la droite (d) qui passe par ce point et le point O origine du repère. D’où la représentation graphique : Exemple : On veut tracer la représentation graphique de la fonction affine f : x - 0,5x + 2. On choisit deux valeurs de x au hasard et on calcule leurs images par la fonction affine f. on a f( -2
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